Some constructions of complete decomposition of dihedral group

<jats:title>Abstract</jats:title>
<jats:p>Let <jats:italic>G</jats:italic> be a finite non-abelian group. For integer <jats:italic>k</jats:italic> ≥ 2, we let <jats:italic>A</jats:italic>
<jats:sub>1</jats:sub>,…,<jats:italic>A<jats:sub>k</jats:sub>
</jats:italic> be non-empty subsets of <jats:italic>G</jats:italic>. If <jats:italic>A</jats:italic>
<jats:sub>1</jats:sub>,…, <jats:italic>A<jats:sub>k</jats:sub>
</jats:italic> are pairwise disjoint and if the subset product <jats:italic>A</jats:italic>
<jats:sub>
<jats:italic>i</jats:italic>
<jats:sub>1</jats:sub>
</jats:sub> … <jats:italic>A<jats:sub>i<jats:sub>k</jats:sub>
</jats:sub>
</jats:italic> = {<jats:italic>a</jats:italic>
<jats:sub>
<jats:italic>i</jats:italic>
<jats:sub>1</jats:sub>
</jats:sub> …<jats:italic>a<jats:sub>i<jats:sub>k</jats:sub>
</jats:sub>
</jats:italic> |<jats:italic>a<jats:sub>i<jats:sub>j</jats:sub>
</jats:sub> ∈ A<jats:sub>i<jats:sub>j</jats:sub>
</jats:sub>, j</jats:italic> = 1,…, <jats:italic>k</jats:italic>} coincides with <jats:italic>G</jats:italic>, where the <jats:italic>A<jats:sub>i<jats:sub>j</jats:sub>
</jats:sub>
</jats:italic> are all distinct and {<jats:italic>A</jats:italic>
<jats:sub>
<jats:italic>i</jats:italic>
<jats:sub>1</jats:sub>
</jats:sub>,…, <jats:italic>A<jats:sub>i<jats:sub>k</jats:sub>
</jats:sub>
</jats:italic>} = {<jats:italic>A</jats:italic>
<jats:sub>1</jats:sub>,…, <jats:italic>A<jats:sub>k</jats:sub>
</jats:italic>} then (<jats:italic>A</jats:italic>
<jats:sub>1</jats:sub>,…, <jats:italic>A<jats:sub>k</jats:sub>
</jats:italic>) is called a (<jats:italic>k</jats:italic>, |<jats:italic>A</jats:italic>
<jats:sub>1</jats:sub>|,…, |<jats:italic>A<jats:sub>k</jats:sub>
</jats:italic>|)-complete decomposition of <jats:italic>G</jats:italic>. For integer <jats:italic>n</jats:italic> ≥ 3, let <jats:italic>D<jats:sub>2n</jats:sub>
</jats:italic> be the dihedral group of order <jats:italic>n</jats:italic>. Let <jats:italic>A, B</jats:italic> be the subset of <jats:italic>D<jats:sub>2n</jats:sub>
</jats:italic>. In this paper, we show some constructions, namely (2, |<jats:italic>A</jats:italic>|, |<jats:italic>B</jats:italic>|)-complete decomposition of <jats:italic>D<jats:sub>2n</jats:sub>
</jats:italic> where <jats:inline-formula>
<jats:tex-math><?CDATA $|B|\in \{2,4,\ldots 2\lfloor \frac{n}{3}\rfloor,n-1,n\}$?></jats:tex-math>
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll">
<mml:mrow>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo>|</mml:mo>
<mml:mo>∈</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mo>{</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mn>4</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mo>…</mml:mo>
<mml:mn>2</mml:mn>
<mml:mrow>
<mml:mo>⌊</mml:mo>
<mml:mrow>
<mml:mfrac>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mn>3</mml:mn>
</mml:mfrac>
</mml:mrow>
<mml:mo>⌋</mml:mo>
</mml:mrow>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
<mml:mo>−</mml:mo>
<mml:mn>1</mml:mn>
<mml:mo>,</mml:mo>
<mml:mi>n</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:mo>}</mml:mo>
</mml:mrow>
</mml:mrow>
</mml:math>
<jats:inline-graphic xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="JPCS_1358_1_012080_ieqn1.gif" xlink:type="simple" />
</jats:inline-formula> and |<jats:italic>A</jats:italic>| = <jats:italic>2n</jats:italic> − |<jats:italic>B</jats:italic>|.</jats:p>